Ensaio com Lei de Hooke e Pêndulo

Autor:
Instituição: Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI
Tema: Fisica Geral

Parte I: Lei de Hooke

Parte II: Pêndulo Simples

Itajubá-MG

Março de 2001

 

PARTE I: Lei de Hooke

Objetivo

O objetivo dessa primeira parte do experimento foi verificar a validade da Lei de Hooke para um oscilador massa-mola, além de observar o oscilador, a fim de comprovar que este executa um Movimento Harmônico Simples (M.H.S).

Introdução Teórica

2.1- Movimento Harmônico Simples (M.H.S)

O Movimento Harmônico Simples. trata-se de um movimento oscilatório, onde um corpo realiza, em torno de uma posição de equilíbrio, um tipo de movimento repetido em intervalos de tempo constantes.

Dentre os movimentos oscilatórios encontrados na natureza, tal como o de um pêndulo, ou um corpo preso a uma mola, ou de átomos em um sólido, e outros, o M.H.S. se destaca pelo fato de ter uma modelagem matemática apropriada, uma vez que este pode ser descrito matematicamente com facilidade. Isso faz com que este tipo de movimento sirva de uma boa aproximação para muitos outros movimentos oscilatórios.

2.2- Cinemática do M.H.S.

Um corpo executa um M.H.S., para o caso do movimento unidimensional, quando o seu deslocamento x, em relação a um sistema de referência com origem na posição de equilíbrio, é dado como função do tempo t pela seguinte relação:

(1)

Onde:

A :Deslocamento máximo da partícula (Amplitude)

:Fase do movimento

d : Fase inicial do movimento

A função coseno se repete cada vez que o ângulo varia de 2 p . Logo o deslocamento da partícula repete-se após um intervalo de tempo . Dizemos então que o período do M.H.S. é

2.3- Dinâmica do M.H.S.

Para calcular a aceleração de um corpo que executa um M.H.S., tomamos a 2a derivada da equação de deslocamento do corpo. Desse modo, derivando duas vezes a equação (1), temos:

Utilizando a 2a Lei de Newton, F = ma, chegamos à equação:

Relacionando essas equações, temos então a Lei de Hooke, a qual afirma que, "num M.H.S., a força que atua sobre o corpo é diretamente proporcional ao deslocamento e aponta para o ponto de equilíbrio". Em particular, para um corpo preso a uma mola, essa força restauradora é do tipo:

Onde:

k :Constante de elasticidade da mola.

 

Material Utilizado

Para realização desse experimento foram utilizados os seguintes materiais:

  • Escala vertical com cursores
  • Molas #14 e #03
  • Massas aferidas (1g, 5g, 10g, 50g)
  • Porta-pesos de 10g
  • Trena
  • Balança analógica

 

Procedimento Experimental

4.1- Força de mola e Deslocamento

Montamos a escala vertical de modo que nela foi disposta a mola #14 em equilíbrio na vertical (Vide Figura 1). Pendurou-se o porta-pesos de 10g na mola e com um dos cursores da escala fixamos a posição de equilíbrio da extremidade inferior da mola. Esta posição serviu de referência para as medidas que coletamos. É importante lembrar que a nossa referência foi tomada já com o porta-pesos disposto no sistema, para facilitar as medições.

Depois disso, colocamos uma massa de 10,00g no porta-pesos e, com o segundo cursor da escala, fixamos a nova posição de equilíbrio da extremidade inferior da mola. Por leitura direta, medimos o deslocamento (x) da mola correspondente à carga colocada.

Gradativamente, aumente a carga do porta-pesos e medimos os novos deslocamentos e as massas correspondentes. Repetindo 05 vezes esse procedimento, completando assim a Tabela 1A (Vide Tabela 1).

Seguimos os mesmos passos citados acima, para a mola #03, menos rígida que a primeira, completando assim, a Tabela 1B (Vide Tabela 2).

Figura 1- Sistema Escala-Mola-Pesos


4.2- Observação de um M.H.S.

Montamos um arranjo vertical com a mola menos rígida (a #03) e penduramos nela o porta-pesos com uma carga de 50g.

Marcamos a posição de equilíbrio da extremidade da mola com um dos cursores. E deslocamos a massa em cerca de 1cm para baixo, soltando-a. Observamos que houve oscilações em torno da posição de equilíbrio. (Vide Figura 2).

Figura 2 – Esquema em Movimento Harmônico Simples

 

Interpretação dos Resultados

5.1- Cálculo das Forças

Para calcularmos a força exercida pelas molas sobre cada massa, utilizamos a equação matemática da 2º Lei de Newton: F = m .a

Uma vez que o movimento ocorre verticalmente, a aceleração adotada foi a aceleração da gravidade g. Dessa forma, considerando g = 9,80665 pode-se montar uma tabela com os valores das forças exercidas por cada mola (Vide Tabelas 3 e 4).

Sendo o cálculo das forças uma grandeza indireta, a sua incerteza pode-se ser calculada pela seguinte fórmula:

Calculamos então as forças segundo a equação de Newton e montamos uma tabela com os valores das forças sobre as massas (Vide tabelas 3 e 4).

5.2- Gráficos Força versus Deslocamento

Com os dados do deslocamento sofrido pela mola e a sua força já calculada, podemos agora obter um gráfico da força em função do deslocamento, no qual pela Lei de Hooke podemos conseguir o valor da constante de elasticidade.

Montamos novas tabelas com os valores das forças e seus respectivos deslocamentos (Vide Tabelas 5 e 6) e com esses dados plotamos um gráfico referente às duas molas usadas (Vide Gráficos 1 em anexo). Como o gráfico é da Força pela Distância e de acordo com a Lei de Hooke essas grandezas são diretamente proporcionais, podemos prever que a forma do gráfico será uma reta para cada mola.

5.3- Cálculo das Constantes de Elasticidade

Sabemos que pela Lei de Hooke a força é diretamente proporcional ao deslocamento, e a constante que liga essas duas variáveis é a constante de elasticidade, que tem seu valor específico para cada tipo de mola.

Pelos gráficos obtidos no item anterior, podemos calcular agora as constantes de elasticidade para cada uma das molas através da equação:

Para essa incerteza devemos adotar Dx e DF retirados dos gráficos e não os calculados. Assim, temos que:

D x = 2,5.10-4 [m]

D F = 1,25.10-3 [m]

Calculamos a tangente da reta traçada em relação ao eixo x. Esse valor é igual a constante k das molas.

Foram escolhidos dois pontos na reta que fossem os mais distantes possíveis, para que os erros fossem amenizados. Para a mola #14 escolhemos os pontos PA=[(28,0 .10-3),(200 .10-3)] e PB=[(178,0 .10-3),(1350,0 .10-3)]. Usando esses valores, encontramos a constante para a mola em questão:

Encontramos também sua incerteza que é igual a:

Temos então que o valor da constante de elasticidade encontrado para a mola #14 é igual a:

O mesmo procedimento foi feito para a mola #03: Escolhidos os pontos:

PA=[(32,0 .10-3),(100 .10-3)] e PB=[(406,0 .10-3),(1350,0 .10-3)], pôde-se fazer os cálculos como no primeiro caso. E foram encontrados os seguintes valores:

Para a constante k da Mola #03:

A incerteza da Mola #03:

Portanto, temos o valor da constante da mola #03, que é igual a:

5.4- Cálculo de Constantes de molas equivalentes

Para duas molas em série, sustentando um corpo na vertical:

As duas molas em paralelo, sustentando um corpo na vertical:

 

As duas molas, sobre um plano horizontal, presas nos extremos, com um corpo entre elas.

 

5.5- Análise da Oscilação da Mola

Na parte do experimento em que colocamos a mola suspensa em movimento, observamos que o sistema massa-mola sofreu um movimento de oscilação em torno de um ponto de equilíbrio, ou seja, ela estava em M.H.S.

Porém foi observado que, ao final deste movimento, a mola não pára exatamente no ponto de equilíbrio inicial. Há uma pequena diferença de valores. Isso ocorre porque pela Lei de Hooke, são consideradas molas ideais, ou seja, totalmente elásticas. Na prática, não existe uma mola ideal, por isso há uma pequena deformação residual, a qual faz com que a mola utilizada não volte a posição inicial.

5.6- Análise da Lei de Hooke

Matematicamente, a Lei de Hooke é apresentada pela seguinte fórmula:

O significado físico do sinal negativo é que a força da mola tende a se opor ao seu deslocamento, tentando trazê-la de volta ao ponto de equilíbrio, ou seja, trata-se de uma força restauradora. Assim, quando há uma compressão (deslocamento x negativo), a força é positiva, tendendo a descomprimir a mola. Enquanto que quando há uma distensão (deslocamento x positivo), a força é negativa, levando a mola a retornar ao ponto de equilíbrio.

Isso foi observado pelo próprio movimento oscilatório em torno do ponto de equilíbrio depois de soltar o peso em uma posição que não era a de equilíbrio.

6- Tabelas e Observações

6.1- Dados coletados

Abaixo estão relacionados os dados coletados para a mola #14 (Vide Tabela 1), na qual colocamos respectivamente os pesos de massa 10g, 20g, 40g, 90g e 140g e obtivemos os valores dos seus deslocamentos.

Tabela 1A : Mola #14

 

m± D m (kg)

x± D x (m)

1

(10,00 ± 0,05) . 10-3

(13,0 ± 0,5) . 10-3

2

(20,00 ± 0,05) . 10-3

(27,0 ± 0,5) . 10-3

3

(40,00 ± 0,05) . 10-3

(55,0 ± 0,5) . 10-3

4

(90,00 ± 0,05) . 10-3

(121,0 ± 0,5) . 10-3

5

(140,00 ± 0,05) .10-3

(183,0 ± 0,5) . 10-3

Tabela 1- Valores coletados para Mola # 14

E para a mola de #03, colocando os mesmos pesos, obteve-se os valores a seguir (Vide Tabela 2). Observou-se que mesmo com pesos iguais, os deslocamentos foram divergentes. Isso ocorreu devido à constante de elasticidade das molas que eram diferentes.

Percebemos também que a mola #03 se deslocou mais em relação à mola #14, o que nos levou a concluir que ela era menos rígida que a mola # 14.

Tabela 1B : Mola #03

 

m± D m (kg)

x± D x (m)

1

(10,00 ± 0,05) . 10-3

(30,0 ± 0,5) . 10-3

2

(20,00 ± 0,05) . 10-3

(60,0 ± 0,5) . 10-3

3

(40,00 ± 0,05) . 10-3

(119,0 ± 0,5) . 10-3

4

(90,00 ± 0,05) . 10-3

(265,0 ± 0,5) . 10-3

5

(140,00 ± 0,05) . 10-3

(411,0 ± 0,5) . 10-3

Tabela 2- Valores coletados para Mola # 03

É importante ressaltar que as leituras dos dados foram feitas diretamente e possuem uma incerteza. No caso das medidas de massa, a balança utilizada tinha seu m ?= 0,10g, portanto consideramos sua incerteza como a metade deste valor, ou seja, a incerteza D m = ± 0,05g.

No caso das leituras dos deslocamentos, consideramos a incerteza como a menor interpolação vista pelo componente da equipe que fez a leitura. Sendo o m =1,0mm, a menor interpolação foi a metade deste valor, sendo portanto o erro da escala de D x = ± 0,5mm.

6.2- Forças Calculadas

Abaixo estão as Tabelas 3 e 4 referentes aos valores das forças calculadas através da 2º Lei de Newton. Podemos notar que os valores foram iguais para as duas molas, isso ocorreu porque como o calculo da força depende apenas da massa e da aceleração da gravidade, temos que a aceleração é uma constante e coincidentemente as massas escolhidas no dia do experimento foi as mesmas para as duas molas, por isso os valores das usas forças são coincidentes.

Tabela 2A : Mola #14

 

m ± D m (kg)

F ± D F (N)

1

(10,00 ± 0,05) . 10-3

(98,07 ± 0,49) . 10-3

2

(20,00 ± 0,05) . 10-3

(196,13 ± 0,49) . 10-3

3

(40,00 ± 0,05) . 10-3

(392,27 ± 0,49) . 10-3

4

(90,00 ± 0,05) . 10-3

(882,60 ± 0,49) . 10-3

5

(140,00 ± 0,05) .10-3

(1372,93 ± 0,49) . 10-3

Tabela 3- Valores de Força calculada para Mola #14

Tabela 2B : Mola #03

 

m± D m (kg)

F± D F (N)

1

(10,00 ± 0,05) . 10-3

(98,07 ± 0,49) . 10-3

2

(20,00 ± 0,05) . 10-3

(196,13 ± 0,49) . 10-3

3

(40,00 ± 0,05) . 10-3

(392,27 ± 0,49) . 10-3

4

(90,00 ± 0,05) . 10-3

(882,60 ± 0,49) . 10-3

5

(140,00 ± 0,05) .10-3

(1372,93 ± 0,49) . 10-3

Tabela 4- Valores de Força calculada para Mola #03

6.3- Dados do Gráfico

Os dados abaixo foram utilizados para confecção dos gráficos [F x X]. como já foi dito, esse gráfico nos fornece o valor da constante de elasticidade de cada mola.

Tabela 3A : Mola #14

 

x ± D x (m)

F ± D F (N)

1

(13,0 ± 0,5) . 10-3

(98,07 ± 0,49) . 10-3

2

(27,0 ± 0,5) . 10-3

(196,13 ± 0,49) . 10-3

3

(55,0 ± 0,5) . 10-3

(392,27 ± 0,49) . 10-3

4

(121,0 ± 0,5) . 10-3

(882,60 ± 0,49) . 10-3

5

(183,0 ± 0,5) . 10-3

(1372,93 ± 0,49) . 10-3

Tabela 5- Valores de Força e Deslocamento da Mola #14

Tabela 3B : Mola #03

 

x ± D x (m)

F ± D F (N)

1

(30,0 ± 0,5) . 10-3

(98,07 ± 0,49) . 10-3

2

(60,0 ± 0,5) . 10-3

(196,13 ± 0,49) . 10-3

3

(119,0 ± 0,5) . 10-3

(392,27 ± 0,49) . 10-3

4

(265,0 ± 0,5) . 10-3

(882,60 ± 0,49) . 10-3

5

(411,0 ± 0,5) . 10-3

(1372,93 ± 0,49) . 10-3

Tabela 6- Valores de Força e Deslocamento da Mola #03

 

7- Conclusão e Comentários Finais

A Lei de Hooke funciona adequadamente, sendo possível calcular com precisão as forças envolvidas e mostrando que a teoria mostrada em sala de aula condiz com a realidade. Foi possível também verificar que o movimento descrito ao soltar o peso é um movimento harmônico simples.

8- Bibliografia

 

NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica. S.Paulo, E. Blucher, 1983, v.2.

RESNICK e R. HALLIDAY, D., Física. Rio de Janeiro, LTC, 1983, v.2.

PARTE II: Pêndulo Simples

1- Objetivo

Com este experimento, pretendemos determinação o valor experimental da aceleração da gravidade próxima da superfície terrestre e compará-lo com o valor da constante ideal, verificando e tentando corrigir os possíveis erros.

2- Introdução Teórica

O arranjo experimental do Pêndulo Simples consiste numa massa m suspensa por um fio de comprimento l e massa desprezível conforme mostra a figura abaixo (Vide Figura 1). A massa m move-se sobre um círculo de raio l devido a ação da força peso e da tensão na corda. Ao determinarmos as equações de movimento do corpo, no regime de pequenas oscilações, relacionamos o período das oscilações ( t) com o comprimento l do fio e o módulo da aceleração da gravidade g.

Figura 1 – Esquemático do Sistema montado no Laboratório

3- Material Utilizado

  • Haste
  • Fixadores
  • Fio
  • Massas
  • Trena
  • Balança analógica
  • Cronômetro analógico

4- Procedimento Experimental

Ao começar o experimento, medimos o comprimento l do fio. Seu comprimento era de 92,0cm. Determinamos também a massa m da esfera usada. Feita as medidas, pôde-se assim montar o pêndulo do modo como já foi mostrado na Figura 1.

Colocamos o pêndulo em uma posição que não ultrapassasse o valor de um radiano. Soltamos e medimos o período de oscilação do pêndulo. Para que não fosse um erro significativo de tempo de reação do componente que iria soltar o objeto, optamos por não começar a contar o tempo ao soltar e sim ao atingir o máximo deslocamento do lado oposto.

Repetimos esse procedimento por cinco vezes, coletamos os valores do tempo t gasto durante dez oscilações e para encontrar o tempo t de uma única oscilação dividimos o tempo por 10. Esses dados estão explicitados na Tabela 1 abaixo (Vide Tabela 1).

Tabela 2 : Pêndulo

 

Tempo ± D t (s)

Tempo por Oscilação± D t (s)

1

17,7 ± 0,5

1,77 ± 0,05

2

17,7 ± 0,5

1,77 ± 0,05

3

18,0 ± 0,5

1,80 ± 0,05

4

17,7 ± 0,5

1,77 ± 0,05

5

17,7 ± 0,5

1,77 ± 0,05

Tabela 1 – Tempo de Oscilação do Pêndulo

5- Interpretação dos Resultados

5.1-Equações do Movimento

 

Na Direção Radial:

-> Tangencial:

 

5.2 - Dedução do Período em um Regime de Pequenas Oscilações

Para pequenas oscilações, quando consideramos ângulos menores que 1 radiano (ou 15o), temos a seguinte relação:

 

5.3 –Cálculo da Aceleração da Gravidade

A aceleração da gravidade será calculada para dois períodos de oscilações (T) diferentes, uma vez que o pêndulo foi abandonado cinco vezes, porém quatro abandonos tiveram o mesmo tempo de queda. De acordo com a fórmula abaixo temos que a aceleração da gravidade é igual a:

Tendo o comprimento do fio l constante e igual a 0,920 m, chegamos aos seguintes valores da gravidade local:

Para T = 1,77 ( s ) , chegamos a uma aceleração da gravidade no valor de 11,59 m / s.

Para T = 1,80 ( s ), chegamos a uma aceleração da gravidade no valor de 11,21 m/s.

5.4 – Cálculo das Incertezas das Acelerações Calculadas

A partir da fórmula abaixo será calculada a respectiva incerteza:

Adotando como a incerteza do comprimento do fio à

E a incerteza do tempo por oscilação à , chegamos aos seguintes valores :

Para T = 1,77(s), chegamos a uma incerteza da aceleração da gravidade no valor de

g = 0,66 m/s 2.

Para T = 1,80 (s), chegamos a uma incerteza da aceleração da gravidade no valor de

g = 0,62 m/s2.

A Tabela a seguir (Vide Tabela 2) traz os valores calculados acima para a aceleração da gravidade local.

Período ( s )

Aceleração da gravidade ( m/s2 )

Incerteza ( m/s2 )

Intervalo ( m/s2 )

1,77

11,59

0,66

( 11,59 + 0,66 )

1,77

11,59

0,66

( 11,59 + 0,66 )

1,80

11,21

0,62

( 11,21 + 0,62 )

1,77

11,59

0,66

( 11,59 + 0,66 )

1,77

11,59

0,66

( 11,59 + 0,66 )

Tabela 2 – Valores das Acelerações da Gravidade Calculadas

5.5 –Influência da Massa no Movimento

Ao alterarmos a massa do corpo em movimento, notamos que nada acontece com o período, uma vez que, como já foi discutido, o período não depende da massa para pequenas oscilações (ângulo de oscilação menor que 1 radiano).

5.6 – Diminuição dos Erros

Num processo de medição, não é apropriado fazer somente uma única medida dos valores. Os erros são inerentes a todos os processos de medição. Os erros estatísticos (casuais, fortuitos, aleatórios ou randômicos), decorrem principalmente das condições ambientais – vibrações, oscilações de temperatura, umidade, etc – não controladas. Ao tomarmos mais de uma medida é possível, obtermos n leituras e com essas várias leituras, é possível tirar sua média aritmética e conseqüente calcular o erro sistemático. Esse tipo de cuidado nos garante ao menos uma diminuição de erros discrepantes.

.

5.7 – Gráfico t2 versus l.

Pelas fórmulas já estudadas acima, sabemos que os valores de t2 versus l são diretamente proporcionais, por isso prevíamos uma reta para o gráfico.

Porém, no dia do experimento não foi solicitada a variação do comprimento l do fio. Dessa forma, o gráfico t2 versus l foi desconsiderado do relatório.

6- Conclusões e Comentários Finais

Nesta experiência pode-se estudar e observar o movimento de um pêndulo e perceber que quando em pequenos ângulos, este movimento é considerado um Movimento Harmônico Simples. Além disso, observamos quais variáveis influenciam neste movimento, assim como as que não o afetam.

Com o estudo deste movimento pôde-se também definir a aceleração da gravidade local. É importante ressaltar que os valores encontrados para a aceleração da gravidade, não correspondem ao valor teórico de 9,81 m / s 2. Mesmo ao adotarmos a incerteza, o valor de inclusão ainda fica um pouco distante do valor teórico.

O grupo chegou a conclusão que o ângulo de inclinação do pêndulo foi maior que 1 radiano, o que acabou fazendo com que o pêndulo não obedece-se as equações do MHS, descaracterizando o movimento de pêndulo simples.

Mas ainda com todos os erros, os valores não se apresentaram absurdos em relação ao valor teórico.


7- Referências Bibliográficas

NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica. S.Paulo, E. Blucher, 1983, v.2.

RESNICK e R. HALLIDAY, D., Física. Rio de Janeiro, LTC, 1983, v.2.

 

Outros Autores: Gustavo Delalibera Carvalho e Mateus Prince Antunes

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