Matemática Financeira

Autor:
Instituição: Unic
Tema: Matemática Financeira

Matemática Financeira

Cuiabá-MT

2004


1 Rendas

Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos (T) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e i a taxa unitária de juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, entretanto, seu objetivo for amortizar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor atual (ou valor presente) da renda.

As rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas certas são aquelas em que o número de termos, os vencimentos dos termos e seus respectivos valores podem ser previamente fixados. Quando pelo menos um destes elementos não puder ser determinado com antecedência, a renda é chamada aleatória.

A grande maioria das rendas são certas; é o caso do conjunto das prestações para pagar uma mercadoria comprada a prazo, onde o valor das prestações, os seus respectivos vencimento e número das previamente conhecidos. O exemplo mais típico de renda aleatória é o conjunto de pagamentos de prêmios de um seguro de vida, pois o número de pagamentos não pode ser fixado antecipadamente.

De conformidade com a duração, periodicidade, valores e vencimentos dos termos, as rendas têm a classificação seguinte:

Rendas temporárias são aquelas em que o número de termos é finito, i é, a renda tem um termo final. Quando o número de termos é infinito, a renda é denominada perpétua. A maioria das rendas são temporárias; são as de 2, 6, 10, 12 etc. pagamentos. Exemplo típico de renda perpétua são os aluguéis de imóveis inalienáveis.

Rendas periódicas são aquelas em que o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante (mensais, trimestrais, semestrais etc.). Caso contrário, a renda é não periódica.

São rendas constantes quando todos os pagamentos são de mesmo valor. Se um dos pagamentos for de valor diferente dos demais, a renda é variável.

Quanto ao vencimento dos termos, as rendas são classificadas em: imediatas (ou postecipadas), antecipadas ou diferidas. Uma renda é imediata (ou postecipada) quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n períodos.

Exemplo: Renda imediata de 6 termos mensais de 100 u.m.

Uma renda é antecipada quando os pagamentos se realizam no início de cada período. Se a renda possui n termos, o vencimento do último termo ocorre no fim de n-1 períodos (ou no início do enésimo período).

Exemplo: Renda antecipada de 6 termos mensais de 100 u.m.

Uma renda é diferida de m períodos se o vencimento do primeiro termo ocorre no fim de m + 1 períodos, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de m + n períodos. Dessa forma, a renda diferida equivale a uma renda imediata que tem um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos.

Exemplo: Renda de 6 termos mensais de 100 u.m. com 3 meses de carência

1.1 Rendas Imediatas

1.1.1 Valor atual de uma renda unitária imediata

O valor atual (ou valor presente) de uma renda unitária imediata equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor a vista de uma mercadoria) que será pago com prestações unitárias.

O valor atual da renda é igual à soma dos valores atuais de seus termos calculados com desconto composto real a determinada taxa.

Fórmula do valor atual:

Onde N = 1 (termo unitário), para que a fórmula fica reduzida a

Considere-se uma renda de n termos unitários a uma taxa i:

O valor atual de uma renda unitária imediata é representado pela expressão .

Assim,

Para facilitar as operações, façamos

Os termos do segundo membro constituem uma progressão geométrica crescente de razão u. Aplicando a fórmula da soma dos termos da P.G.,

, onde

Como e , temos:

Multiplicando os 2 termos da fração por ,

ou

Os valores de são fornecidos pelas Tábuas V e X.

1.1.2 Valor atual das Rendas Imediatas

Sendo T o termo de uma renda imediata e seu valor atual, então:

1.1.3 Montante de uma renda unitária imediata

O montante de uma renda unitária imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos unitários, durante n períodos a uma taxa i.

O montante de cada termo (depósito) de renda é calculado pela fórmula dos juros compostos, . Como os termos são unitários, os montantes são .

O esquema abaixo representa uma renda de n termos unitários com os respectivos montantes à taxa i:

O montante da renda unitária imediata é representado por ; portanto:

O segundo membro da igualdade constitui uma soma de termos em progressão geométrica de razão (1+i). Aplicando-se a fórmula da soma dos termos da P.G.,

, onde:

Temos:

Os valores de são dados pelas Tábuas III e VIII.

1.1.4 Montante das rendas imediatas

Sendo T o termo de uma renda imediata e seu montante, temos:

1.2 Rendas Antecipadas

1.2.1 Valor atual de uma renda unitária antecipada

A representação do valor atual de uma renda unitária antecipada é .

O esquema apresenta uma renda unitária antecipada de n termos e os valores atuais desses termos à taxa i.

Como o valor atual da renda é igual à soma dos valores atuais de seus termos, temos:

O segundo membro da igualdade constitui a soma dos termos de uma P.G. crescente. Aplicando a fórmula

, onde

Multiplicando os termos da fração por , vem:

1.2.1.1 Fórmula de transformação

Os valores de não são tabelados, mas podem ser obtidos com auxílio da Tábua V através da seguinte fórmula de transformação:

Transpondo o termo 1 para o primeiro membro:

O segundo membro da igualdade constituirá o valor atual de uma renda unitária imediata de n-1 termos, portanto:

ou

1.2.2 Valor atual das rendas antecipadas

Sendo T o termo de uma renda antecipada e seu valor atual, então:

1.2.3 Montante de uma renda unitária antecipada

O montante de uma renda unitária antecipada é representado por .

O seguinte esquema apresenta uma renda unitária antecipada de n termos e os respectivos montantes dos termos a uma taxa i.

1.2.3.1 Fórmula de transformação

Os valores de não são tabelados, mas podem ser obtidos em função de . Seja:

1.2.4 Montante das rendas antecipadas

Sendo T o termo de uma renda antecipada e seu montante, temos:

1.3 Rendas Diferidas

As rendas diferidas envolvem apenas cálculos relativos a valor atual, pois o montante de uma renda diferida é igual ao montante de uma renda imediata, uma vez que durante o prazo de carência não há pagamentos e capitalizações.

1.3.1 Valor de uma renda unitária diferida

A representação do valor atual de uma renda unitária de n termos, o prazo de carência de m períodos e os respectivos valores atuais dos termos, a uma taxa i.

1.3.1.1 Fórmula de transformação

Os valores de não são tabelados, mas podem ser obtidos em função de (Tábua V).

A expressão do valor de pode ser assim decomposta:

1.3.2 Valor atual das rendas diferidas

Sendo T o termo de uma renda diferida e seu valor atual, temos:


2 Depreciação

2.1 Conceito

Os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a constantes desvalorizações, devido, principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. A diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual) no fim de certo tempo, chama-se depreciação.

Por exemplo, uma máquina que foi comprada por 4.000 u.m. e, após 10 anos, pôde ser revendida por 500 u.m., teve uma depreciação de 3.500 u.m.

Existem, ainda, bens que sofrem desvalorização total após certo tempo, isto é, não possuem valor residual, geralmente são os bens imateriais: marca de fábrica, patentes, royalties etc.

A legislação brasileira estabelece limites mínimos para o cálculo do tempo de depreciação dos bens do ativo das empresas. Por exemplo, para móveis e máquinas, em geral, a depreciação anual pode ser calculada à taxa máxima de 10% a.a. (tempo mínimo de 10 anos), enquanto os veículos podem ser depreciados em até 20% a.a.

A depreciação pode ser real ou teórica. A depreciação real é aquela que corresponde à diferença entre os valores do bem no início e no fim de um período (ano). A depreciação teórica é baseada em previsões do tempo de vida útil do bem e de seu valor residual.

É praticamente impossível calcular a depreciação real, pois seria necessário que, ao cabo de cada período, se fizesse uma avaliação total do patrimônio da empresa a preços constantes, isto é, descontada a inflação. Seria um trabalho bastante oneroso e, portanto, antieconômico. Por isso, na prática, faz-se a depreciação de conformidade com a tabela admitida pela legislação, ou seja, usa-se a depreciação teórica.

2.2 Métodos

A depreciação teórica representa uma estimativa da depreciação real. Vários são os métodos utilizados para o seu cálculo, os principais são:

  • Método linear;
  • Método de Taxa Constante;
  • Método das Taxas Variáveis;
  • Método de Cole;
  • Método da Capitalização;
  • Método das Anuidades.

A aplicação de um ou outro desses métodos depende do administrador, da empresa, do bem que se está depreciando e de outros fatores particulares.

2.2.1 Método Linear

Este é o mais utilizado na prática devido a sua simplicidade. Consiste em dividir o total a depreciar pelo número de anos de vida útil do bem.

Seja, por exemplo, o cálculo da depreciação de uma máquina que custa 4.000 u.m. e tem vida útil de 10 anos, com 500 u.m. de um valor residual.

A quota anual de depreciação é:

Plano de Depreciação

O plano de depreciação é um quadro que apresenta, no fim de cada exercício, a quota de depreciação reservada, o valor do fundo de provisão para depreciação e o valor atual do bom. Para o problema acima, temos o seguinte plano de depreciação:

n

Quota de Depreciação

Fundo de Depreciação

Valor Atual

0

  

4.000

1

350

350

3.650

2

350

700

3.300

3

350

1.050

2.950

4

350

1.400

2.600

5

350

1.750

2.250

6

350

2.100

1.900

7

350

2.450

1.550

8

350

2.800

1.200

9

350

3.150

850

10

350

3.500

500

 

2.2.2 Método da Taxa Constante

Este método consiste em estabelecer uma taxa constante de depreciação, a qual é calculada sobre o valor do bem no fim de cada exercício.

O cálculo dessa taxa é feito através da fórmula do valor atual de desconto composto bancário:

onde:

= valor residual do bem

= preço de compra do bem

= número de anos de vida útil do bem

= taxa constante de depreciação

Considerando o problema anterior, temos:

Assim, a taxa constante a se calcular sobre o valor atual do bem é de 18,76%.

Plano de depreciação:

n

Quota de

Depreciação

Fundo de

Depreciação

Valor

Atual

0

  

4.000,00

1

750,40

750,40

3.249,60

2

609,63

1.360,02

2.639,98

3

495,26

1.855,28

2.144,72

4

402,35

2.257,63

1.742,37

5

326,87

2.584,50

1.415,50

6

265,55

2.850,05

1.149,95

7

215,73

3.065,78

934,22

8

175,26

3.241,04

758,96

9

142,38

3.383,42

616,58

10

115,67

3.499,09

500,91


Obs: A diferença de 0,91 u.m. verificada a menor no fundo de depreciação é devida a aproximação da taxa.

2.2.3 Método das Taxas Variáveis

O método de depreciação por taxas variáveis consiste em determinar uma taxa média e distribuir as demais em torno dela, de maneira que forme uma progressão aritmética (crescente ou decrescente) cuja soma dos termos seja 100%.

Determina-se a taxa média dividindo-se 100% pelo número de anos de vida útil do bem.

Aplicando este método ao problema anterior, a taxa média de 100% : 10 = 10%. Devemos, agora, estabelecer uma razão de P.A. e a ordem (crescente ou decrescente) das taxas. Seja, por exemplo, 2% a razão e tomemos as seguintes taxas crescentes: 1%, 3%, 5%, 7%, 9%, 11%, 13%, 15%, 17% e 19%. Estas taxas são calculadas sobre o total a depreciar (3.500 u.m.).

Plano de depreciação:

n

Taxa

Quota de Depreciação

Fundo de Depreciação

Valor Atual

0

   

4.000

1

1%

35

35

3.965

2

3%

105

140

3.860

3

5%

175

315

3.685

4

7%

245

560

3.440

5

9%

315

875

3.125

6

11%

385

1.260

2.740

7

13%

455

1.715

2.285

8

15%

525

2.240

1.760

9

17%

595

2.835

1.165

10

19%

665

3.500

500

2.2.4 Método de Cole

O método de Cole consiste em dividir o total da depreciação em frações, tais que o numerador expresse os períodos que faltam para o final da vida útil do bem e o denominador represente o somatório dos períodos.

Dessa forma, as frações são:

Como no exemplo que estamos considerando o tempo de depreciação é de 10 anos, as frações são:

Calculando estas frações de 3.500 u.m. teremos as 10 quotas de depreciação.

Plano de depreciação:

n

Fração

Quota de

Depreciação

Fundo de

Depreciação

Valor

Atual

0

   

4.000,000

1

10/55

636,364

636,364

3.363,636

2

9/55

572,727

1.209,091

2.791,909

3

8/55

509,091

1.718,182

2.281,818

4

7/55

445,455

2.163,637

1.836,363

5

6/55

381,818

2.545,455

1.454,545

6

5/55

318,818

2.863,637

1.136,363

7

4/55

254,546

3.118,183

881,817

8

3/55

190,909

3.309,092

690,908

9

2/55

127,272

3.436,364

563,636

10

1/55

63,636

3.500,000

500,000

 

2.2.5 Método da Capitalização

Este método consiste em calcular uma quota anual fixa que, colocada no fim de cada período a juros compostos, produza, no fim de n períodos, o montante da depreciação.

Neste caso, a quota de depreciação é igual ao termo do montante das rendas imediatas, portanto:

Aplicando este método ao nosso exemplo e considerando a taxa de capitalização de 10%a.a., temos:

Plano de depreciação:

n

Quota de Depreciação

Juro

Fundo de Depreciação

Valor Atual

0

   

4.000,000

1

219,608

 

219,608

3.780,392

2

219,608

21,961

461,177

3.538,823

3

219,608

46,117

726,902

3.273,098

4

219,608

72,690

1.019,200

2.980,800

5

219,608

101,920

1.340,728

2.659,272

6

219,608

134,073

1.694,409

2.305,591

7

219,608

169,441

2.083,458

1.916,542

8

219,608

208,346

2.511,412

1.488,588

9

219,608

251,141

2.982,161

1.017,839

10

219,608

298,216

3.499,985

500,015

 

2.2.6 Método das Anuidades

É aquele que, além de computar juros sobre o fundo constituído, leva em consideração os juros do investimento do capital.

Cumpre-nos, portanto, calcular uma quota fixa que inclua a depreciação do bem e os juros da inversão.

Seja C o valor do investimento, e R o seu valor residual. Computando-se os juros da inversão, o valor a depreciar é

ou

Como a quota de depreciação é dada por:

Plano de depreciação:

n

Quota de Depreciação

Juro

Saldo para Depreciação

Fundo de Depreciação

Valor Atual

0

    

4.000,000

1

619,608

400,000

219,608

219,608

3.780,392

2

619,608

378,039

241,569

461,177

3.538,823

3

619,608

353,882

265,726

726,903

3.273,097

4

619,608

327,310

292,298

1.019,201

2.980,799

5

619,608

298,080

321,528

1.340,729

2.659,271

6

619,608

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