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Capitalização e Amortização

Autor:
Instituição: UVV
Tema: Matemática Financeira

Capitalização e Amortização


Simbologia utilizada durante o trabalho:

INT – Corresponde ao valor dos juros, independentemente se empregados em capitalização simples, capitalização composta, etc.

PV – Valor presente, valor atual, valor de aquisição, valor na data zero, valor do empréstimo, valor financiado, valor do resgate antecipado, etc.

i – Taxa de juros.

n – Tempo, número de períodos, quantidade de prestações. Devera sempre estar compatível com a periodicidade da taxa de juros (i).

FV – Valor futuro, valor nominal de um título, valor de face, montante, valor residual de um bem, valor do capital acrescido de seus rendimentos.

PMT – É o valor de cada parcela, cada prestação, cada depósito. Normalmente só utilizado quando estamos tratando de anuidades, onde temos pagamentos ou recebimentos em varias parcelas.


1. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Quando o regime é de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, valor atual (PV). O regime de capitalização simples representa uma equação aritmética, logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação, no entanto, em países com alto índice de inflação, a utilização de capitalização simples só faz sentido para curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o inicio do estudo de Matemática Financeira, pois todos os estudos de Matemática Financeira são oriundos da capitalização simples.


1.1 CÁLCULO DOS JUROS

Os juros produzidos por um capital são constantes e proporcionais ao capital aplicado, na razão da taxa de juros.

A taxa de juros, normalmente apresentada em percentual (%), significa a quantidade de cada CEM que estamos considerando. Para fins de cálculo utilizaremos sempre esta taxa dividida por CEM, a qual passa a ser uma taxa unitária.

Como para cada intervalo a que corresponde a taxa temos um mesmo valor, se quisermos saber o total no período, basta multiplicar o valor de cada intervalo pelo número de intervalos.

Com isto chegamos a fórmula:

INT = PV x i x n

 

1.2 FÓRMULA DERIVADAS

1.2.1 Valor atual

Para calcular o valor atual transformaremos a fórmula de juros para:

PV = INT
          i x n

1.2.1 Taxa de juros

Para calcular a taxa de juros utilizaremos a fórmula de juros apresentada anteriormente:

INT = PV x i x n

A qual iremos transformar em:

i = INT
    PV x n

possibilitando assim encontrar a taxa. Essa taxa encontrada será sempre unitária, isto é, dividida por CEM, logo, devemos multiplicá-la por 100 para obter a taxa percentual.

Obs.: A taxa encontrada sempre será na mesma unidade do tempo utilizada para o cálculo.

1.2.2 Tempo

Para encontrar o tempo, partimos também da forma original de juros,

INT = PV x i x n

a qual iremos modificar, conforme mostrado abaixo, para possibilitar o cálculo da quantidade de períodos, os quais serão sempre na mesma unidade do tempo em que a taxa foi utilizada no cálculo. Para facilitar o entendimento, devemos sempre apresentar o prazo, tempo, em números inteiros de anos, meses, dias, etc.

n = INT
      PV x i


1.3 HOMOGENEIDADE ENTRE TAXA E TEMPO

Nos cálculos financeiros, devemos sempre atentar para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo. Isto quer dizer: se a taxa é dada em mês, o tempo deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao ano, o tempo deverá ser em anos.

No entanto, se no problema apresentado isto não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quanto o tempo para obter a homogeneidade.

Mesmo que a taxa e o tempo não estejam na mesma unidade de tempo, as fórmulas a serem utilizadas são as mesmas.

1.4 JUROS ORDINÁRIOS

São aqueles em que se utiliza o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários todos os meses tem 30 dias e o ano tem 360 dias.

1.5 JUROS EXATOS

São aqueles em que se usa o tempo na quantidade exata de dias, observando a quantidade de dias que tem cada mês e, sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se o ano civil para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo.

Caso o tempo não esteja em dias, devemos transformá-lo e, se a taxa não for anual, também devemos transformá-la.

1.6 JUROS SIMPLES PELA REGRA DOS BANQUEIROS

É o cálculo em que, para estabelecer a homogeneidade, é usado o ano comercial, 360 dias, como nos juros ordinários, mas o tempo, número de dias, segue o princípio dos juros exatos, ou seja, segue o calendário do ano civil.

1.7 MONTANTE

Representa o valor do capital aplicado acrescido dos juros.

Logo:

FV = PV + INT

Substituindo INT por sua fórmula, teremos:

FV = PV + PV x i x n

Colocando PV em evidencia:

FV = PV (1 + i x n)

1.7.1 Valor atual, partindo do montante

Neste caso estamos querendo calcular o valor que foi aplicado para formar um determinado montante após determinado período.

FV = PV (1 + i x n)

Logo:

PV = FV
        1 + i x n

1.7.2 Taxa de juros, partindo do montante

Quando sabemos o Montante, o valor atual e o tempo, e temos interesse em saber a taxa, apenas subtraímos o valor atual do montante e obtemos o valor dos juros; e, então procedemos normalmente, como quando não tínhamos o montante, da maneira como foi abordado anteriormente.

i = INT
    PV x n

1.7.3 Tempo, partindo do montante

Quando sabemos o montante, o valor atual e a taxa de juros e queremos saber o tempo, apenas subtraímos o valor atual do montante, obtendo o valor dos juros; enato procedemos da maneira com foi abordado anteriormente.

n = INT
   PV x i

 

2. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Capitalização composta significa que os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros.

A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial. É também chamado de juros sobre juros, considerando-se que a base de cálculo dos juros é o valor capitalizado até o período imediatamente anterior.

O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital aplicado denominaremos de período de capitalização, assim, se mencionarmos que é capitalizado mensalmente, isto quer dizer que o período de capitalização é um mês e passado um mês da aplicação os juros serão acrescidos ao valor aplicado, passando a render juros, como valor inicialmente aplicado.

Em economia inflacionaria recomenda-se sempre o uso de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples produz distorções até no curtíssimo prazo.

2.1 MONTANTE

É o capital, valor aplicado, acrescido dos juros; representa sempre o valor total ou valor futuro.

Podemos determinar o montante composto calculando os juros simples, período de capitalização a período de capitalização, e incorporando-os ao capital inicial para o próximo período.

2.2 VALOR ATUAL

Valor atual significa o valor aplicado, o valor presente, e quando quisermos calculá-lo utilizaremos a fórmula:

PV = FV
        (1 + i)n

Ou:

PV = FV x (1 + i)-n

 

2.3 JUROS

São os rendimentos produzidos por um capital em determinado tempo.

Em capitalização composta, os juros aumentam a cada período de capitalização exatamente o valor dos juros produzidos pelos juros do período imediatamente anterior.

Sabemos que o montante é o valor aplicado (PV) acrescido dos juros, logo:

FV = PV x (1 + i)n

PV + INT = PV x (1 + i)n

INT = PV x (1 + i)n -PV

INT = PV [(1 + i)n – 1]

2.4 PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO

São intervalo de tempo preestabelecidos, findos os quais são calculados os juros que, somados ao capital, formam um novo valor atual, valor presente, capital (PV) para o próximo período, ou melhor, para o próximo intervalo. A capitalização pode ser: diária, mensal, anual, etc.

Em juros compostos, o n não representa o número de dias, meses, anos, etc., mas o número de períodos de capitalização.

A taxa e o tempo devem sempre ser homogêneos ao período de capitalização.

Para calcularmos a quantidade de períodos de capitalização, utilizaremos a seguinte fórmula:

(1 + i)n = FV
              PV

2.5 TAXA

É o percentual da remuneração do capital.

(1 + i)n = FV
              PV

2.6 TAXA NOMINAL

A taxa nominal é expressa normalmente para periodicidade anual, sendo transformada em taxa para periodicidade menor de forma proporcional, conforme a seguir.

2.6.1 Taxa proporcional

A proporcionalidade de taxas é realizada como se estivéssemos tratando de juros simples.

i1 = taxa conhecida

i2 = taxa desconhecida

n1 = período da taxa conhecida

n2 = período da taxa desconhecida

i1 ______ n1

i2 ______ n2

i1 x n2 = i2 x n1

i2 = i1 x n2
      
n1

Ou:

i2 = i1 x k

k = tempo referente à taxa que queremos saber = n2

tempo correspondente à taxa que conhecemos = n1

Podemos também determinar "k" fazendo a pergunta:

"Quantos(as) ... (tempo correspondente a taxa conhecida) tem num(a) ... (tempo da taxa desconhecida) ?"

 

2.7 TAXA EFETIVA

É taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, independentemente do período de capitalização. Isto quer dizer que se um capital foi aplicado durante um tempo a determinada taxa, não importa o período de capitalização, que o resultado final, o montante, será o mesmo.

Quando queremos ajustar uma taxa ao período de capitalização, utilizamos a equivalência de taxas.

2.7.1 Taxa equivalente

Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado por um prazo e, calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo resultado.

A taxa equivalente é calculada através da equivalência de taxas, aplicando-se o critério da capitalização composta.

i2 = (1 + i1)n2/n1 – 1

ou

i2 = (1 + i1)k – 1

2.8 PERÍODO FRACIONÁRIO

Mesmo quando efetuamos cálculos através de juros compostos podemos ter um número de períodos de capitalização não inteiro. Podemos Ter, por exemplo, um valor aplicado durante 3 meses e 15 dias e a capitalização ser mensal; neste caso temos um período fracionário.

Inicialmente, vamos separar a parte inteira da parte fracionaria.

Para a parte inteira fazemos o cálculo normalmente, pois está tudo de acordo para efetuar o cálculo.

A parte fracionaria é que vai necessitar de um tratamento diferente. Normalmente são admitidas duas alternativas:

Se o período for fracionário, calcula-se o montante composto até o ultimo período inteiro. Em seguida somam-se os juros da parte fracionaria, que são calculados sobre o montante dos períodos inteiros:

 

3. AMORTIZAÇÕES E EMPRÉSTIMOS

3.1 DEFINIÇÕES:

Para melhor compreensão dos termos utilizados em empréstimos e amortizações, apresentaremos a seguir as definições de alguns desses termos:

3.2 AMORTIZAÇÃO NUM SÓ PAGAMENTO

Consiste na devolução do principal acrescido dos juros num único pagamento, ou seja, num montante final.

3.2.1 Amortização a juros simples

Sera o montante calculado a juros simples.

FV = PV (1 + i x n)

3.2.2 Amortização a juros compostos

É o montante calculado a juros compostos.

FV = PV x (1 + i)n

3.3 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU SISTEMA PRICE(SFA)

Consiste na devolução do principal mais os juros em prestações de valor igual e de mesmo intervalo entre as parcelas.

A taxa de juros sempre deverá corresponder ao período de amortização.

A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior.

A parcela de amortização consiste na diferença entre a prestação e o valor da parcela de juros.

Assim, o valor da parcela de juros referente a primeira prestação de uma série de pagamentos é igual a taxa multiplicada pelo valor do capital emprestado ou financiado.

3.3.1 SFA(Price) com prazo de utilização unitário e sem carência

Dá-se quando o credor entrega numa só parcela o valor financiado ao devedor.

PMT = PV x i
           1 – (1 + i)-n

3.3.2 SFA (Price) com prazo de utilização unitário e com carência.

Ocorre quando o credor entrega o valor financiado ao devedor numa só parcela, mas vai recebê-lo em prestações após um prazo determinado de carência.

Podemos ter o pagamento dos juros durante a carência ou os juros capitalizados durante este período.

3.3.3 SFA (Price) com prazo de utilização não unitário e com carência

Neste caso, o credor entrega o valor financiado em parcelas, e o devedor não precisa começar a devolução no primeiro período.

3.3.4 SFA (Price) com período da taxa e da amortização diferentes

Neste caso, devemos, em primeiro lugar, calcular a taxa de juros equivalente ao período de amortização e depois proceder normalmente, como visto.

Obs.: Quando queremos a TABELA PRICE, com taxa nominal, devemos calcular a taxa de juros através da proporcionalidade para o intervalo da amortização.

Primeiramente calcula-se a taxa equivalente

i2 = (1 + i)k – 1

Agora calcularemos o valor da prestação, utilizando a taxa achada acima

PMT = PV x i
          1 – (1 + i)-n

3.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC OU SISTEMA HAMBURGUÊS

Consiste no plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética.

A parcela de amortização é obtida dividindo-se o valor do empréstimo pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinado pela multiplicação do saldo devedor imediatamente anterior pela taxa de juros.

Obs.: No SFA, as prestações são constantes e as parcelas de amortização são crescentes, enquanto no SAC, as parcelas de amortização são constantes e as prestações decrescentes.

 

3.4.1 SAC (Hamburguês) sem carência e com prazo de utilização unitário

AMORT = PV
                 N

3.4.2 SAC (Hamburguês) com prazo de utilização unitário e com carência

Da mesma maneira como no Sistema Francês de Amortização, também no Sistema de Amortização Constante podemos pagar os juros durante a carência ou capitalizá-los.

3.4.3 SAC (Hamburguês) com prazo de utilização não unitário e com carência

Também aqui podemos ter os juros pagos durante a carência ou capitalizados durante este tempo.

3.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

Este sistema foi criado pelo BNH, em meados de 1979, e constituiu-se num misto entre o Sistema Francês de Amortização e o Sistema de Amortização Constante, originando-se daí sua denominação. O SAM é um plano de pagamentos compostos por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores da planilha de amortização do SFA e do SAC, correspondentes aos respectivos períodos.

Obs.: Inicialmente calculamos a prestação pelo SFA e fazemos a Planilha por este sistema; em seguida, calculamos a amortização pelo SAC, fazemos a Planilha também por este sistema e, para finalizar, fazemos a média aritmética de todos os dados.

3.6 SISTEMA AMERICANO (SA)

Consiste na devolução do principal numa única parcela no final do prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal.

3.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

Neste caso, a devolução do principal é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer, na pratica, quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortização e a taxa de juros a ser cobrada. Os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.

3.8 SISTEMA ALEMÃO

O método alemão é um sistema em que os juros são calculados e cobrados antecipadamente. Veremos, a seguir, a fórmula básica para calculo do valor da prestação:

PMT = PV x i
        1 – (1 – i)n

3.8.1 Cálculo do valor atual

Para calcular o valor atual no Sistema Alemão utilizaremos a formula:

PV = PMT [1 – (1 – i)p-1]
i.

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