Monografia: A geometria no ensino da matemática das Séries Iniciais do Ensino Fundamental

Autor:
Instituição: UNIPAC
Tema: Geometria

Monografia: A geometria no ensino da matemática das Séries Iniciais do Ensino Fundamental

UNIPAC
2008

 

 

 

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO
I- IMPORTÂNCIA DOS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL
II- O ENSINO DA GEOMETRIA E A UTILIZAÇÃO DO TANGRAN
2.1. Geometria na escola
2.2. Histórico do jogo tangran
2.3. O uso do tangran no ensino da geometria
2.4. Confecção do tangran a partir de folha de papel
III- A PRÁTICA DO ENSINO ATRAVÉS DO LÚDICO
CONSIDERAÇÃOES FINAIS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

RESUMO

Este trabalho tem como tema o ensino da geometria nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Pra tanto foram entrevistadas professoras e alunos da fase IV de duas escolas, uma privada e uma pública. Pode-se observar através desta análise que tanto os alunos quanto as professoras de ambas as escolas sentem que as atividades lúdicas são fundamentais no ensino da geometria, e da matemática, em geral.

Sabe-se que a educação matemática deve sempre estar voltada para a necessidade que o aluno tem de construir sua lógica operatória, e, conseqüentemente as estruturas mentais dos números e das operações elementares. A análise da oficina de geometria desenvolvida pelas professoras da fase IV revelou o interesse de aprender de forma lúdica. A proposta desse projeto foi de desenvolver o raciocínio na criança por meio de jogos, de estratégia, trabalhando, também, a estimativa, a construção e o cálculo mental. Acredita-se que no processo de desenvolvimento de estratégias de jogo o aluno envolve-se com o levantamento de hipóteses e conjecturas, aspecto fundamental do pensamento cientifico, inclusive matemático. Assim sendo, é preciso envolver o aluno para que ele se sinta encorajado a refletir sobre suas ações e sem medo de aprender a pensar, explorar e descobrir.

Concluí-se, portanto que jogar em grupo é uma conquista social cognitiva muito importante na educação das crianças, tendo que ser desenvolvida nas fases iniciais e estimulada ao longo do tempo, para que o objeto real da brincadeira seja concretizada de acordo com as finalidades dos processos educacionais. Enfim, constatamos que o trabalho feito primeiramente com atividades variadas tem sua importância na construção do conhecimento da criança.

Palavras- chave: Matemática – geometria – lúdico – aprendizagem

 

INTRODUÇÃO

A Matemática, por exercer um papel importante na cidadania, precisa estar ao alcance de todos devendo ser meta prioritária do trabalho docente através dos jogos e atividades lúdicas nas séries iniciais do ensino fundamental. O conhecimento matemático construído de forma prazerosa poderá favorecer ao educando a estruturação do pensamento, desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade expressiva, da sensibilidade estética e de sua imaginação.

Este trabalho tem por objetivo analisar o processo de ensino – aprendizagem da Matemática, ressaltando a importância da geometria e atividades lúdicas contextualizadas na vida prática do educando. Para tal fim, será utilizado o referencial teórico composto pelos autores Kamii, (1994); Macedo,(2005); Golbert, (1997); Rabelo, (2004); Kishimoto, (2005) e outros. Será feita também uma pesquisa de campo em duas escolas, uma privada e uma pública para compreender como acontece a aprendizagem da matemática na prática.

Assim sendo, a investigação bibliográfica e de campo deste trabalho será no sentido de compreender a importância do lúdico no ensino da Matemática no Ensino Fundamental.

A opção por este tema se dá devido a observação de que a atividade lúdica como fonte de aprendizagem ainda não é prática efetiva no cotidiano escolar. Propõe-se, então, um aperfeiçoamento da prática docente, através da criação de momentos que oportunizem à criança o exercício do seu direito de ser criança.

Percebe-se na prática que o jogo desenvolve a afetividade, as representações mentais, a manipulação dos objetos, o desempenho das ações físicas e a interação com os outros; por isso, o jogo contempla varias formas de representação da criança, contribuindo para a sua aprendizagem e desenvolvimento.

Jogos e brincadeiras envolvem conceitos e habilidades que precisam ser trabalhadas com as crianças em situações extra classe ou mesmo em sala de aula. Essas atividades desenvolvem a atenção, a memorização, a percepção espacial, noções básicas de cores e formas geométricas.

Com os jogos e brincadeiras, as crianças formam e transformam conceitos. Elas são parceiras da aprendizagem, cabendo ao professor respeitar as características individuais e a forma de pensar e agir de cada criança.

No que se refere a Matemática, podemos dizer que tanto os jogos como as brincadeiras favorecem o desenvolvimento físico, cognitivo, afetivo, social e moral. A brincadeira de roda, por exemplo, desenvolve a noção de tempo, noção de espaço, a possibilidade de trabalhar com seqüências através das letras e ritmos das músicas e, em algumas rodas especificamente, podem desenvolver noções referentes a números, tais como a contagem e a noção de par. O jogo, na educação matemática, passa a ter o caráter de material de ensino quando considerado promotor da aprendizagem. A criança colocada diante de situações lúdicas aprende a estrutura lógica da brincadeira e deste modo aprende também a estrutura lógica matemática presente. Nesta perspectiva, o jogo, por ser livre de pressões e avaliações cria um clima de liberdade, propício à aprendizagem e estimula a moralidade, o interesse, a descoberta e a reflexão.

Esse relatório final do trabalho será estruturado da seguinte forma: no primeiro capitulo será esclarecido sobre a importância dos jogos no ensino da Matemática no Ensino Fundamental. No segundo capitulo, abordarei sobre o ensino da Geometria e a utilização do Tangran. No terceiro capitulo, demonstrarei os resultados da pesquisa de campo através do titulo: a prática de ensino através do lúdico e, por fim, as considerações finais que essa investigação possibilitou-me distinguir.



CAPÍTULO I: A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Por que trabalhar com jogos no ensino da Matemática?

O lúdico, jogo e brincadeira, é característica fundamental do ser humano. Nossa tendência é fazer, tudo o que nos dá prazer. A criança aprende melhor brincando, e todos os conteúdos podem ser ensinados através dos jogos e das brincadeiras. Os jogos têm regras a serem seguidas, mas permitem muitas combinações e respostas dos jogadores.

Para Kamii & Linda Joseph , (1994, p.135)

Jogos podem ser usados de modo a incentivar ou dificultar o desenvolvimento da autonomia. Como a autonomia na qualidade de objetivo da educação é vista como fundamental em nossas classes de instrução matemática, na Hall – Kent, consideramos muitos jogos, sejam eles encontrados comercialmente ou criados pelos professores, pois podem ser usados para estimular e desenvolver a habilidade de a criança pensar de forma independente, contribuindo para o seu processo de construção de conhecimento lógico – matemático.

Sendo assim, o jogo é um excelente instrumento de aprendizagem, capaz de despertar o interesse das crianças, oferecendo-lhes um espaço para colocarem suas idéias em “movimento”, contrapondo-as às de seus colegas e educadores.

Com os jogos, abrem-se campos amplos para as interações cooperativas, as trocas de pontos de vista entre as crianças. Estas, com pensamentos diversos, informam, perguntam, analisam, conseguindo avançar muito mais em seus processos de aprendizagem do que conseguiriam individualmente. Por isso, o trabalho coletivo, mais do que interativo é socializador, partindo do fato de que a criança socializada consegue realizar atividades num âmbito maior, ampliando seus conhecimentos com informações obtidas de outra criança.

O professor que incentiva o desenvolvimento da autonomia nas crianças está dando oportunidade para o desenvolvimento moral, social, político e intelectual. No dia a dia, as crianças formulam seus próprios problemas, dentro das ambigüidades da realidade, e imaginam como resolvê-los a seu modo. As situações da vida diária dão oportunidade de estruturarem e definirem problemas gerais, e seu aprendizado lógico. Apresenta também oportunidades para as crianças estruturarem e definirem problemas dentro das ambigüidades do mundo real. Ao contrario, folhas de exercícios apresentam problemas pouco originais, incentivam obediência, passividade e aplicação mecânica de técnicas. Seu uso reforça a heteronomia natural da criança de tal modo que retarda o desenvolvimento da sua autonomia.

Neste sentido, o professor deve priorizar as situações e vivências da vida diária da criança e não ficar preso somente a exercícios gráficos. Sabemos que estes também são necessários, principalmente porque precisamos instrumentalizar os alunos para demonstrar seu pensamento de forma gráfica, estabelecendo relações através do registro dos números, aplicando formalmente os seus conhecimentos matemáticos, daí a importância do registro dos jogos e outras situações em sala de aula.

Segundo Rabelo (2004, p. 55 )

Na matemática não interessa apenas a capacidade de uma criança reproduzir graficamente por memorização, apenas os algoritmos para a resolução de um problema para a qual tenha sido treinada. Mais do que isso, interessa sua capacidade de criar e produzir soluções e estratégias coerentes e coesas para resolver o problema, isto é, interessa que ela seja capaz de criar e coordenar relações.

Na utilização de jogos em sala de aula, o papel do aluno centra-se nas atividades de observação, relacionamento, comparação, levantamento de hipóteses e argumentação; ao professor, cabe apenas a tarefa de orientar a busca de soluções para as jogadas. Assim, sendo em uma dinâmica de grupo, é fundamental para o desenvolvimento cognitivo do aluno, especialmente em séries iniciais.

Os jogos pedagógicos podem ser usados antes da apresentação de um conteúdo, para despertar o interesse da criança, ou no final, para fixar a aprendizagem, desenvolvendo, também, atitudes e habilidades.

Pressupõe-se que este processo atenda as necessidades cognitivas na fase escolar. Para Luckesi (1999, p. 27) “à escola cabe trabalhar para o desenvolvimento das capacidades cognitivas do educando em articulação com todas as habilidades hábitos e convicções do viver”.

O desenvolvimento do educando depende diretamente do educador que o acompanha, ele é o mediador da aprendizagem, devendo estar atento às diversidades dos alunos, no entanto, uma grande parte dos profissionais da educação não estão preparados para atender às necessidades destes alunos por estarem apoiados em métodos mecânicos e abstratos totalmente fora da realidade da criança onde seus corpos são submetidos ao silêncio e uma disciplina rígida.

De acordo com o pressuposto acima, Santos (1998, p. 22) ressalta que:

O que se vê no interior da escola, é uma aprendizagem apoiada em métodos mecânicos e abstratos, totalmente fora da realidade da criança, em que o corpo é apenas objeto de manipulação dos professores à serviço dos “conteúdos”, escolares, predominando durante as aulas a imobilidade, o silêncio e a disciplina rígida .

Por meio dos jogos, o aluno desenvolve seu autoconhecimento e o conhecimento dos outros. Para os pequenos, os jogos representam ações que eles repetem sistematicamente e que tem um sentido funcional, possibilitando a compreensão do conteúdo, gerando satisfação e formando hábitos que se estruturam num sistema. Brincar é envolvente, interessante e informativo, a criança vive um contexto de interação onde o brincar é agradável por si mesmo, aqui e agora e ao mesmo tempo sério uma vez que supõe atenção e concentração.

Freud ( 1987) em " O poeta e a fantasia" diz:

Não deveríamos procurar os primeiros traços das atividades poéticas já nas crianças? Talvez devêssemos dizer: cada criança em suas brincadeiras comporta-se como um poeta, enquanto cria seu mundo próprio, ou, dizendo melhor: enquanto transpõe os elementos formadores de seu mundo para uma nova ordem, mais agradável e conveniente para ela.

Na ótica da teoria da psicologia genética, tendo Piaget como uma das principais expressões, " o brincar representa uma atividade por meio da qual a realidade é incorporada pela criança e transformada quer em função dos hábitos motores ( jogos de exercícios) quer em função das necessidades do seu eu ( jogo simbólico) ou em função das exigências de reciprocidade social ( jogos de regras)".

A técnica do jogo em psicanálise foi elaborada por Melanie Klein, Ana Freud e outros que aprofundaram o simbolismo inconsciente do jogo.

Logo, é importante entender o lugar que o jogo ocupa para que possa ser usado de forma adequada. Ele só é educativo quando o educador o desenvolve com o objetivo e intencionalidade, caso contrário, é apenas uma brincadeira.

O jogo assume um significado funcional onde a realidade é incorporada pela criança e transformada, de acordo com seus hábitos motores, com as necessidades do eu e em função das exigências do social.

Piaget (1985) dedicou-se a estudar os jogos e chegou a estabelecer uma classificação de acordo com a evolução das estruturas mentais.

Para Piaget os jogos são classificados em:

Jogos de exercícios - de zero a 2 anos;
Jogos de Símbolos - 2 a 7 anos;
Jogos de Regras - a partir dos 7 anos.

O jogo vai depender da etapa em que cada aluno se encontre. Se estiverem aprendendo a escrever seu nome ou palavras de sua língua, a escola pode lhe propor jogos de exercícios a fim de que os esquemas de ação motora tão necessária para que esta tarefa seja adquirida.

Mas quando a criança já se encontra numa fase mais avançada é a vez dos jogos simbólicos serem chamados à cena, por exemplo: entonação, o brincar com a linguagem num constante recriar. Nas séries mais avançadas (adolescência) é a vez das regras, onde as atividades em grupo são bastante valorizadas para que a convenções sociais e os valores morais de uma cultura possam ser transmitidos, bem como o processo cognitivo visa a sua preparação para o futuro. Do jogo simbólico pode se herdar a possibilidade de experimentar papéis, representar, dramatizar, recriar situações do dia a dia.

Para MACEDO, (apud PETTY & PASSOS 2005, p.14),

No brincar, objetivos, meios e resultados tornam-se indissociáveis e enredam a criança em uma atividade gostosa por si mesma, pelo que no momento de sua realização. Este é o caráter autotélico do brincar. Do ponto de vista do desenvolvimento, essa característica é fundamental, pois possibilita à criança aprender consigo mesma e com objetos ou pessoas envolvidas nas brincadeiras, nos limites de suas possibilidades e de seu repertório. Esses elementos, ao serem mobilizados nas brincadeiras, organizam-se de muitos modos, criam conflitos e projeções, concebem diálogos, praticam argumentações, resolvem ou possibilitam o enfrentamento de problemas.

Conforme Golbert (1997, p.6), “o desenrolar dos jogos dá lugar a muitas trocas cognitivas entre as crianças, ao mesmo tempo em que permite ao educador mediar os processos que promovem a passagem da ação física para a ação interiorizada – a reflexão – através de auto regulações”.

A autora esclarece também que as propriedades viso-espaciais-temporais das peças dos jogos auxiliam a criança a organizar sua atividade cognitiva, pois requerem uma manipulação organizada. Trata-se de um material concreto, manipulável, sem ser limitado em sua concretude, pelo contrário, pode e deve ser utilizado por meio de diferentes conteúdos de significação, promovendo abstrações progressivamente mais elaboradas.

Além da compreensão das situações, Macedo, (apud GOLBERT, 1997, p.43), explica que o jogo de regras promove a coordenação de ações espaço-temporalmente. O caráter temporal é dado pela seqüência das jogadas enquanto que o caráter espacial refere-se a qualquer alteração na posição das peças que modifica a configuração total do jogo.

Macedo, (apud GOLBERT, 1997, p.43) ainda relaciona os jogos como instrumento de desenvolvimento e esclarece que a cada jogada o sujeito precisa considerar diferentes possibilidades e eliminar obstáculos, devendo estar atento aos vários caminhos possíveis.

Os jogos pedagógicos podem ser usados antes da apresentação de um conteúdo, para despertar o interesse da criança, ou no final, para fixar a aprendizagem, desenvolvendo, também, atitudes e habilidades.

Para Kishimoto (2005, p79/80),

[...] as concepções sócio-interacionistas partem do pressuposto de que a criança aprende e desenvolve suas estruturas cognitivas ao lidar com o jogo de regra. Nessa concepção, o jogo promove o desenvolvimento, porque está impregnado de aprendizagem. E isto ocorre porque os sujeitos, ao jogar, passam a lidar com regras que lhes permitem a compreensão do conjunto de conhecimentos veiculados socialmente, permitindo-lhes novos elementos para aprender os conhecimentos futuros.

Através do jogo, o aluno se preocupa com a aquisição do conhecimento e desenvolvimento das habilidades físicas e mentais. Por meio dessa forma lúdica de ensinar, o educador faz com que o aluno viva experiências, com medo da perda, alem de conhecerem conceitos e regras. A criança gosta de regra, especialmente porque por meio da regra é que a criança forma uma base, uma estrutura, uma confiança em si e nos colegas.

Nesse contexto, ao jogar o aluno vivencia uma forma eficaz de aprendizagem que propicia estímulos a sua imaginação e melhora o processo de aprendizagem, tendo em vista que o ensino deve valorizar algumas características naturais da criança como o questionamento e a vontade de conhecer o novo.

É através dessa forma descontraída de educar que o aluno poderá acumular experiências e assim aprenderá a viver, vencendo seus medos e amadurecendo aos poucos, pois este lúdico proporciona que a criança conheça regras, entendê-las, identifique os contextos em que são utilizadas e inventem outros contextos modificando essas mesmas regras, alem de dispor-se à incerteza e ao risco, exercitando-se, assim, para enfrentar os acontecimentos acidentais da vida cotidiana.

Para atender as prerrogativas deste trabalho, pretende-se analisar por meio de pesquisa de campo a metodologia empregada no ensino da Matemática, em detrimento da não autonomia do aluno em construir seu conhecimento através de atividades lúdicas, registrando a relevância do jogo Tangran no processo – aprendizagem da Fase IV do ensino fundamental.

 

CAPÍTULO 2: O ENSINO DA GEOMETRIA E A UTILIZAÇÃO DO TANGRAN

Desde que nasce a criança está em contato com o mundo através da visão, da audição, do tato, dos seus movimentos. Ela vai explorar e interpretar o ambiente que a rodeia e, antes mesmo de dominar as palavras, conhecer o espaço e as formas nele presentes.

No entanto, a maioria dos currículos escolares do mundo todo, durante longo tempo, não deu a essas experiências a importância que devia _ sempre se preocupam muito com as atividades ligadas a linguagem e à quantificação, deixando de explorar a capacidade infantil de percepção especial em trabalhos com geometria.

Tal fato parece estar relacionado com a tradição de se abordar o fatos geométricos básicos de maneira automática, ou seja, o estudo da geometria consistia muito mais em aprender a demonstrar teoremas do que em conhecer e interpretar propriedades das figuras geométricas.

Segundo Toledo & Toledo (1997, p.221), há alguns anos, felizmente, esse panorama vem se modificando; a geometria passa a ser vista como um campo muito rico de oportunidade para:

- o desenvolvimento de outros tipos de raciocínio, na resolução de problemas que exigem visualização e manipulação de modelos de figuras geométricas;
- o desenvolvimento estético e da criatividade, com a utilização da formas geométricas em atividades de composição e decomposição;
- a valorização de alunos cujo raciocínio é mais voltado aos aspectos especiais que quantitativos da realidade, conseguindo, assim melhor desempenho nas atividades de geometria do que naqueles ligadas a números.

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental, porque, através deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo que vive.

A geometria é um campo fértil para se trabalhar em situação-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geometrias contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois, estimula a criança a observar, perceber semelhança e diferenças, identificar regularidade e vice-versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanatos, ele permitira ao aluno estabelecer conexão entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.

 

2.1 Geometria na escola

Desde a década de 1940, Jean Piaget desenvolveu pesquisas a respeito da interação da criança com a realidade que a cerca. Baseia-se nessas pesquisas a maioria dos conhecimentos que temos sobre como a criança constrói as noções de espaço e de figura geométrica, bem como suas propriedades e relação.

Segundo Piaget, as primeiras propriedades que a criança observa e consegue compreender são aqueles de natureza topológica, como dentro, fora, ao lado de, vizinho de, etc.

Por volta de 5 ou 6 anos, a criança passa a observar as propriedades de natureza projetiva como o que vem antes ou depois, o primeiro, o segundo... e mais tarde, aos 7 anos aproximadamente, o que está entre, à direita, à esquerda.

Ela não só reconhece a ordem em que apresentam os objetos observados como também as formas dos objetos são agora mais definidas para ela, por exemplo, já se preocupa em representar com retas no objeto mostrado.

Essa etapa desenvolvimento corresponde à fase em a criança esta saindo do egocentrismo e já é capaz de localizar um objeto em relação a outro, e não apenas em relação a se própria.

Somente a partir dos 9 ou 10 anos, ela começa a se interessar pelas dimensões dos objetos, ou seja, pelas propriedades de natureza métrica, tais como comprimento dos lados, abertura dos ângulos de um polígono, etc.

Dessa forma, o ensino da geometria no Ensino Fundamental segundo Toledo & Toledo (1997, p.227) pode ser dividido em três períodos:

Familiarização com as figuras geométricas;

Descoberta de propriedades;

Estabelecimento de relações entre figuras e propriedades.

A escola deve oferecer situações em que a criança entra em contato com objetos tridimensionais, bidimensionais ou ainda unidimensionais, dependendo de seus conhecimentos prévios.

Limitar a criança ao retângulo, triângulo, quadrado e círculo é impedi-la de explorar sua bola, seus estojo, a corda e outras coisas que ela tem em mãos no seu cotidiano.

Como resultado de um estudo sobre o desenvolvimento cognitivo do estudo de geometria, identificou os 5 níveis seguintes:

Nível 1: O aluno aprende o vocabulário e reconhece uma forma como um todo;
Nível 2: O aluno começa a analisar figuras;
Nível 3: O aluno ordena figuras logicamente;
Nível 4: O aluno compreende o significado da dedução e o papel dos postulados teoremas e provas;
Nível 5: O consegue uma compreensão mais acurada e é capaz de fazer deduções abstratas. (Van Hiele apud Toledo & Toledo, 2007, p.263).

As experiências com geometria no Ensino Fundamental têm como principal finalidade ajudar as crianças a atingir os níveis 1, 2 e 3. Não é incomum que os professores das séries iniciais deixem de lado os tópicos relativos à geometria, mesmo que o livro-texto utilizado por ele, os inclua. Dois fatores levam a essa indiferença em relação à geometria: o professor opera como na época em que estudou onde a geometria era difícil e desinteressante, e, porque tal disciplina esta quase sempre, no final do livro e às vezes o professor não o conclui.

A criança deve começar a aprender conceitos pelos objetos que se encontram em seu meio ambiente, pela classificação dos mesmos ou de suas representações geométricas em termos de algumas características escolhidas, tais como vértice, tamanho, números de lados, números de vértices, e assim por diante.

Mais tarde, à medida que a criança progride, aprende habilidades para a construção geométrica através do envolvimento ativo com instrumentos como régua, compasso e transferidor.

Contudo, se a base nas séries iniciais for bem trabalhada, através de material concreto e situações do cotidiano do aluno, o professor se surpreendera com fato de não ser necessário ensinar termos complicados e definições formais ate no final do Ensino Fundamental, pois o aluno irá construindo aos poucos seus conceitos de geometria.

 

2.2. O histórico do tangran

O Tangran é um jogo milenar, de origem chinesa e conhecido mundialmente. De acordo com Joost Elffers (1992), não há referência exata sobre sua origem ou seu inventor. Sabe-se que era o jogo preferido de Napoleão em seu exílio e de Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas. Na China, é também conhecido por Tanguan, referindo-se à dinastia de 618 a 9207 (TANG) e à palavra jogo (WAN). O Tangran tem como objetivo construir uma figura idêntica a um modelo previamente determinado, utilizando todas as sete peças que o compõem: dois triângulos grandes, dois pequenos e um médio, um quadrado e um paralelogramo.

O Tangran é considerado como parte da categoria quebra-cabeças, mas possui algumas diferenças. Os quebras-cabeças tradicionalmente conhecidos são compostos por várias partes que, quando coordenadas, possibilitam a construção de uma figura, sendo que cada uma das peças ocupa sempre a mesma posição e tem, portanto, um lugar definido e uma relação de vizinhança única entre si. Já o Tangran difere desses aspectos quanto à estrutura, pois possui um número reduzido de peças e um lugar variável para a colocação de cada uma delas, dependendo da figura construída. Nesse jogo, são muitas as possibilidades de disposição espacial de uma peça, especialmente se forem observadas as diferentes combinações em relação às outras.

Petty e Passos , (apud Albuquerque, s.d., p.19):

Não existe uma chave para decifrar os enigmas propostos. Cada um deles é um novo problema, como se estivesse sido inventado por uma esfinge diferente. Isto é muito bom: elimina qualquer possibilidade de camaradagem com o desafiante. Cada problema colocado tem uma solução própria, de forma que se torna muito difícil decorar qualquer uma delas. Além disso, existe, em muitos casos, mais de uma resposta para o mesmo Tangran.

Conclui-se que quem se aventurar a jogar Tangran logo aprende que ter boa memória e conhecer as peças são aspectos insuficientes para construir as figuras com sucesso. É essencial explorar a multiplicidade das relações possíveis de se estabelecer entre as peças, agindo com persistência e concentração. A combinação simultânea desses fatores é que dá ao jogador condições de resolver os diferentes problemas propostos pelo jogo.

Existem muitas explicações e lendas sobre a origem do Tangran, desde histórias relativas à cultura do povo chinês até histórias semelhantes a contos de fadas.

Conta-se que há muito tempo, na China, um mestre vivia com seu aprendiz, ensinando-lhe muitas coisas sobre a vida. Um dia, o mestre disse ao rapaz que já estava preparado para sair pelo mundo e fazer suas próprias descobertas. Para registrar tudo o que aprendesse ao longo de sua viagem, deveria levar consigo um maço de folhas de arroz, um pedaço de carvão e uma cerâmica quadrada. Sem saber muito bem o que fazer com aqueles objetos, o aprendiz partiu para sua caminhada. Um dia, deixou a cerâmica cair e esta se partiu em sete pedaços. Tentando remontá-la, percebeu que com apenas aqueles cacos podia formar muitas figuras diferentes e foi assim. Nos contos de fadas, a história conta que era uma vez, uma linda princesa que tinha um espelho quadrado. Ela adorava esse espelho e olhava-se nele todos os dias. Certo dia, ele caiu no chão e quebrou-se em sete pedaços. A princesa ficou muito triste, mas ninguém no castelo conseguia consertá-lo.

Seu pai, o rei, lançou um desafio: quem conseguisse montar o espelho igual ao original poderia casar-se com sua filha. Então, um jovem viajante aceitou o desafio e foi capaz de reconstruir o espelho para a princesa. Assim casaram-se e viveram felizes para sempre.

È sempre interessante compartilhar com os alunos algumas peculiaridades sobre jogos, ampliando o universo de informações e diversificando as formas de conhecimento a respeito do material. Tal conduta transforma a relação do jogador com o jogo: de simples usuário, ele passa a “proprietário” da cultura e do contexto que subjaz àquele material.

Para (Macedo; Petty e Passos, 2005 p. 85),

Um recorte bastante adequado que pode ser feito para analisar as implicações do uso do Tangran é o aspecto afetivo. Obeservar crianças – e adultos! – jogando pode fornecer ao profissional informações sobre o impacto do jogar no que se refere ao comportamento e às atitudes. Alegria, medo, perseverança, raiva, entusiasmo, ansiedade, entre outros, comumente aparecem como expressão de sentimentos decorrentes do contato com o jogo.

Atividades com jogos como o Tangran podem criar um contexto interessante para conhecer os alunos, especialmente porque favorecem a expressão de pensamentos e sentimentos, em como possibilitam aprendizagens significativas. O Tangran tem como objetivo construir uma figura idêntica a um modelo previamente determinado, utilizando todas as sete peças que o compõem: dois triângulos grandes, dois pequenos e um médio, um quadrado e um paralelogramo.

Segundo Macedo (1992, p. 138), do ponto de vista afetivo, os jogos de regras também abarcam um universo relacional que supõe muitos desafios, tais como:

... competir com um adversário ou vencer um objetivo; regular o ciúme, a inveja a frustração; adiar o prazer imediato, já que urge cuidar dos meios que nos conduzem a ele; subordinar-se a regras que limitam nossa conduta; enfim, entregar-se a um outro, abrindo-se para o imprevisível disso, para nosso terror ou êxtase.

Conclui-se que é fundamental querer conhecer os alunos e criar situações que possam convidá-los a crescer, a expressar seus sentimentos em relação ao conhecimento, tanto no que se refere às dificuldades quanto aos interesses.

Cañeque (apud Macedo; Petty e Passos 2005 p. 86), afirma que:

Por meio dos jogos, as crianças vivenciam e enfrentam situações de conflito que, ao serem resolvidas, podem ser transferidas para outros momentos. Os professores devem, quando possível, ajudá-las a perceber que estão sendo capazes de realizar determinadas tarefas que não conseguiam, além de alcançar certos resultados anteriormente considerados impossíveis. O Tangran é um bom jogo para trabalhar com essas questões, pois o jogador enfrenta desafios desde o momento em que começa a escolher os lugares para cada uma das peças.

Assim quando o aluno consegue construir uma figura, conscientizando-se das ações necessárias para isso e das atitudes desempenhadas frente à tarefa, sentem-se realizados e capazes de enfrentar novos desafios, o que representa uma importante conquista. Esta não está circunscrita somente ao momento do jogo, podendo ser ampliada, através da intervenção do professor, para outros contextos, favorecendo o enfrentamento dos desafios do cotidiano escolar com mais segurança.

Chateau (1987, p.100-101) é outro autor que valoriza o jogo, destacando a importância da observação de diferentes manifestações do ponto de vista afetivo, social, motor e moral: “No jogo, a criança mostra, aliás, sua inteligência, sua vontade, seu traço dominante, sua personalidade, enfim. Todo pedagogo digno desse nome há muito está atento a essas múltiplas indicações dadas pela maneira de jogar / brincar”.

Convém lembrar que a utilização dos jogos na educação deve ser feita de forma trabalhada, relacionando os objetivos dos mesmos e vivências, pois só assim serão desenvolvidas as potencialidades.

Sendo o jogo parceiro do professor no processo de desenvolvimento da criança na relação de ensino-aprendizagem, quando o educador planeja e se prepara para sua utilização com intuito de introduzir o lúdico educativo no aluno, a aprendizagem se torna mais flexível, solidária e interativa. Dessa forma, a criança que participa de aulas em que o professor utiliza jogos e brincadeiras como recurso de ensino, sente-se familiarizada com esse método de aprendizagem, pois este já faz parte de seus hábitos cotidianos, e dessa forma o desenvolvimento fluirá naturalmente.

Quando às situações lúdicas são intencionalmente criadas pelo adulto com vistas a estimular certos tipos de aprendizagem, surge a dimensão educativa. Desde que mantidas as condições para a expressão do lúdico, ou seja, a ação intencional da criança para brincar, o educador está potencializando as situações de aprendizagem. Utilizar jogos e brincadeiras no ensino fundamental significa transportar para o campo do ensino-aprendizagem condições para maximizar a construção do conhecimento, introduzindo as propriedades do lúdico, do prazer, da capacidade de iniciação e ação ativa e motivadora.

Ao optar por atividade lúdica como forma de desenvolvimento da aprendizagem, o educador poderá conhecer melhor o grupo em que trabalha, promovendo situações interessantes e desafiadoras para a resolução de problemas, permitindo que os aprendizes façam uma auto-avaliação com relação ao seu desempenho, além de permitir que todos participem ativamente de cada etapa vivenciada na execução de cada jogo.

Trabalhar com o material Tangran, por exemplo, para quem tem criatividade e desejo de usá-lo, constitui uma fonte inesgotável de recursos.

Macedo; Petty e Passos (2005 p. 87), ressaltam que:

O trabalho com o Tangran traz à tona esses aspectos, favorecendo a comunicação e a abrangência de várias áreas no âmbito dos conteúdos escolares. Ainda que nosso trabalho esteja mais diretamente voltado para questões de ordem cognitiva, não podemos negar a influência do aspecto afetivo no desenvolvimento e na aprendizagem. Sem desejo, interesse e motivação, torna-se muito difícil supor a possibilidade de aquisição de conhecimento. As relações afetivas estabelecidas interferem sobremaneira nesse processo: todos nós sabemos como é difícil trabalhar em um ambiente hostil e desfavorável.

Portanto, é incontestável que o afeto exerce um papel essencial no funcionamento da inteligência. Sem afeto não haveria interesse, necessidade, motivação e, conseqüentemente, não haveria aprendizagem.

 

2.3. O uso do tangran no ensino da geometria

Muitos conhecem o Tangran, um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Seu nome original é: Tch´i Tch´iao Pan, significa as sete tábuas da argúcia. Ao contrário de outros quebra-cabeças ele é formado por apenas sete peças com formas geométricas resultantes da decomposição de um quadrado, são elas:

· 2 triângulos grandes;
· 2 triângulos pequenos;
· 1 triângulo médio;
· 1 quadrado;
· 1 paralelogramo

Com estas peças é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras geométricas entre outras.

O professor pode iniciar a apresentação deste jogo-material pedagógico contando uma lenda sobre o Tangran, assim: Um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois iniciaria uma grande viagem pelo mundo. Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse:

- Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem,
para mostrar-me na volta.

O discípulo surpreso, indagou:

- Mas mestre, como, com um simples espelho, poderei eu lhe mostrar tudo o que encontrar durante a viagem?

No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos, quebrando-se em sete peças.

Então o mestre disse:

- Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que viu durante a viagem.

Com o uso do Tangram o professor pode trabalhar:
l identificação,
l comparação,
l descrição,
l classificação,
l desenho de formas geométricas planas,
l visualização e representação de figuras planas,
l exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras,
l compreensão das propriedades das figuras geométricas planas,
l representação e resolução de problemas usando modelos geométricos
l noções de áreas
l frações

Esse trabalho permite o desenvolvimento de algumas habilidades – importantes para a aquisição de conhecimento s em outras áreas – tais como:

l visualização / diferenciação
l percepção espacial,
l análise / síntese
l desenho,
l relação espacial
l escrita e
l construção

Por último, o professor precisa se conscientizar que este quebra-cabeça tem sido utilizado como material didático nas aulas de Artes e precisa estar cada vez mais presente nas aulas de Matemática. O trabalho com o Tangran deve iniciar visando a exploração das peças e a identificação das suas formas.

Logo depois, se passa à sobreposição e construção de figuras dadas a partir de uma silhueta, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a criança precisa analisar as propriedades das peças do Tangran e da figura que se quer construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes.

A filosofia do Tangran é de que um todo é divisível em partes, as quais podem ser reorganizadas num outro todo, como a própria concepção de Malba Tahan sobre a matemática. As regras do principal jogo proposto no trabalho com Tangran consistem em usar as sete peças em qualquer montagem de reprodução de figuras, apresentadas em silhueta, utilizando as sete peças, colocando-as lado a lado sem sobreposição.

 

2.4.Confecção do tangran a partir de uma folha de papel

O Tangran é um material (jogo) de origem chinesa cujas características geométricas oferecem condições de trabalhar, com bastante eficácia, diversos conceitos matemáticos. A sua utilização prevê a exploração do espaço geométrico pelo aluno, o conhecimento das formas geométricas mais comuns e de seus elementos, relações entre essas formas, classificações, o trabalho com frações, com medidas, discussões de teoremas, bem como o desenvolvimento de habilidades de observação, comparação, levantamento de hipóteses, classificação, generalização, entre outras.

É um material composto por sete peças cujas formas geométricas são: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, originados da decomposição de um quadrado maior. Alguns conhecedores desse material (jogo) o chamam de “sete pedras teimosas”, “sete pedras mágicas”, ou ainda “sete tábuas de argúcia(habilidade, destreza)”, pois seu nome originou-se do chinês “TCH’I TCH’IÃO PAN”.

O processo de construção do Tangran pode gerar a criação e solução de alguns problemas envolvidos à compreensão de conceitos matemáticos, centrados em uma concepção significativa1 de aprendizagem. Tendo em vista a possibilidade de incentivar a criatividade dos alunos e a construção de conceitos matemáticos, a partir da manipulação de objetos e discussão das informações obtidas em tal atividade, sugerimos a exploração das várias interrogações que deverão surgir, de modo a permitir ações e reflexões diversas.

Apresentamos na proposta algumas interrogações a serem feitas aos alunos. No entanto, é possível levar em consideração outras interrogações que podem surgir do tipo: como se fazer o Tangran? Quais as medidas? Qual o material adequado à sua confecção, tendo em vista a sua utilização em sala de aula? Nesse momento é importante que se analise primeiramente o que se quer desenvolver nessas atividades.

A partir desses questionamentos, pode-se sugerir aos alunos que construam cada um, o seu Tangran e, de modo a cumprir esse objetivo, apresentamos a seguir algumas orientações para o trabalho de confecção coletiva, tendo como princípio o uso de dobraduras e recortes de papel.

Para tal atividade é aconselhável utilizar papel de espessura média para não rasgar nem causar dificuldade em dobrá-lo. O papel e as formas geradas devem ser considerados como elementos matemáticos, durante a confecção do Tangran, de modo que os conceitos matemáticos possam fluir durante o processo de construção.

Apresentaremos, a seguir, atividades relacionadas à confecção das peças do Tangran de maneira exploratória e analítica. A linguagem, nessa construção, terá maior ou menor formalidade, dependendo do nível da turma a que o material for levado. Uma alternativa para a utilização de uma linguagem adequada é a sondagem da turma, em termos de domínio de conceitos, antes da construção do material.

O Tangran pode ser trabalhado em qualquer nível. Porém, uma forma de utilização é o trabalho com as 3 (três) peças construídas inicialmente (três triângulos), o que pode ser feito nas séries iniciais. Essa alternativa possibilita um trabalho gradual e, consequentemente, uma maior aprendizagem.

- Etapas

a) Apresentar uma folha de papel retangular, a qual deverá ser explorada pelos alunos, a partir de interrogações, como:

Qual a forma dessa folha de papel?

Possui quantos cantos (ângulos)?

Os cantos (ângulos) são iguais ou diferentes?

Após as respostas, o professor terá condições de avaliar os conceitos dominados pelos alunos e poderá conduzir a discussão no sentido de aprimorar esses conceitos.

b) A seguir, propor que a partir do retângulo, construam um quadrado. A tarefa é do aluno. Ele necessitará perceber que ao dobrar o papel precisará garantir que os lados deverão possuir as mesmas medidas. Como fazer isso?
Deverá perceber, também, que as dobras que aparecerão no quadrado construído representam elementos desse quadrado: o seu lado e a sua diagonal. Nesse momento, é possível observar que a diagonal representa a bissetriz que divide o ângulo reto (90º) em duas partes iguais (dois ângulos de 45º).
Os passos deverão ser correspondentes aos desenhos apresentados a seguir:

 

#1a

 

Aqui, a pergunta que pode ser feita aos alunos

- O quadrado é um retângulo?
- O retângulo é um quadrado?

A discussão das respostas a essas questões deve permitir aos alunos a construção ou aprimoramento dos conceitos dessas figuras.

c) A partir do quadrado, construir dois triângulos, recortando na diagonal do quadrado

 

#1b

 

Os alunos deverão ser orientados para que observem que os triângulos resultantes são retângulos e isósceles, pois possuem dois lados iguais e apresentam um ângulo reto.

Nesse momento, o material pode ser utilizado como jogo e algumas figuras podem ser formadas pelos alunos.

É importante que o professor propicie condições para o desenvolvimento da “visão espacial” dos alunos e, para isso, pode ser feito como orientamos abaixo.

- Solicitar que os alunos coloquem um triângulo em cada uma das mãos afastadas, mentalize a aproximação dessas peças e diga qual será a figura obtida quando se tocarem. Só depois de dizer qual a figura resultante é que os triângulos deverão ser aproximados, de modo a avaliarem a correção da resposta.

d) Um dos triângulos(a) deverá ser recortado, de modo a obter dois outros triângulos semelhantes ao dois primeiros (isósceles retângulos). Como fazer isso? O questionamento pode ser feito aos alunos.

As figuras abaixo ilustram o que será feito pelos alunos. As figuras resultantes serão as duas primeiras peças do tangran.

 

#1c

 

Aqui, é possível fazer com que os alunos percebam a semelhança entre os triângulos resultantes (peças 1 e 2), com o triângulo (B) que não foi recortado. Nesse momento, os três triângulos podem ser utilizados para formar novas figuras.

e) A terceira peça do Tangran surge no momento em que se toma a outra metade do quadrado original (triângulo B). Os alunos deverão marcar as metades dos lados de mesma medida do triângulo isósceles (pontos médios), dobrar e cortar. É importante observar que ao dobrar, o canto (vértice) superior irá coincidir com a metade (ponto médio) do maior lado do triângulo.

As ilustrações abaixo apresentam os passos a serem seguidos.

 

#1d



A figura (C), poderá ser utilizada, juntamente com as peças (1), (2) e (3), para gerar novas formas. Se o(a) professor(a) achar conveniente, o trapézio (isósceles) pode ser explorado. Mas a construção do Tangran ainda continua.

f) A partir do trapézio (isósceles) resultante, serão construídas as quatro últimas peças do Tangran. Porém a figura será recortada inicialmente, ao meio, de forma a obter dois trapézios (retângulos).

 

#1e

 

g) Finalmente, de um dos trapézios retângulos serão construídos um quadrado e um triângulo e do outro, serão construídos um triângulo e um paralelogramo. Os procedimentos estão ilustrados abaixo.

 

#1f



O paralelogramo surge pela primeira vez. Assim, é importante que os alunos tenham a oportunidade de explorá-la e fazer comparações com as demais peças construídas.

Após as 07 etapas vivenciadas, os alunos terão construído seus tangran. E, como desafio a eles, faça a sugestão de que montem o quadrado original, com as sete peças obtidas.

Eles deverão obter o seguinte:

 

#1g



A montagem do quadrado original deverá resgatar toda a construção dos conceitos geométricos presentes nas peças do TANGRAN, em virtude de evidenciar a composição geométrica de todo o material confeccionado. A partir desse momento poderão ser lançados desafios, aos alunos, visando evidenciar novas relações entre as peças e dar continuidade à formação dos conceitos trabalhados.

 

CAPÍTULO 3: A PRÁTICA DE ENSINO ATRAVÉS DO LÚDICO

Com o intuito de entender a questão do lúdico na Matemática que ocorrem nas escolas, é que foi realizada uma pesquisa teórico-empírico de cunho qualitativo e quantitativo em duas escolas, uma privada e uma pública. A escolha desta metodologia se deve ao fato da mesma ser uma forma adequada para entender a natureza do objeto estudado e possibilitar uma melhor compreensão da visão dos autores, dos professores e dos alunos sobre a questão da geometria no ensino da Matemática das séries inicias do Ensino Fundamental.

Como procedimento metodológico para coleta de dados foi utilizado a pesquisa teórica, a observação dos alunos em atividades relacionadas ao ensino de Matemática, e entrevista com professoras. Estas foram semi-estruturadas a partir de um roteiro previamente elaborado e aplicado nas referidas escolas. Tanto a observação quanto a entrevista foram realizadas com seis alunos da fase IV do Ensino Fundamental de cada escola. A escolha desses alunos se deve ao fato de serem mais velhos e com certas habilidades já formadas em relação à geometria e a matemática.

Sabe-se que a sala de aula é o espaço no qual professores e alunos se encontram e interagem em torno do conhecimento. Essa interação, que constitui parte decorrente da forma como professor vê o processo de ensino-aprendizagem.

Se antes aprendizagem era vista com produto quase que excluído do comportamento do professor e da metodologia de ensino adotada, agora as contribuições dos próprios alunos são ressaltadas: seus conhecimentos, capacidades e habilidades prévias; sua percepção da escola e do professor; suas expectativas e atitudes diante do ensino. É com crianças e jovens que já contam com tudo isso que o professor tem que lidar em sala de aula: uns são mais cortados, outros mais difíceis, uns acatam, outros resistem. Pouco a pouco, os alunos vão apropriando dos ensinamentos da escola; à luz do que já conhecem. Nessa medida constroem seus conhecimentos.

Juntar e colar figurinhas em álbuns ou reunir diferentes objetos da mesma natureza é mania de criança de qualquer geração. Colecionar coisa pode ser um passatempo delicioso e, ao mesmo tempo, uma ferramenta diferente principalmente para professores das séries iniciais.

O principal objetivo é apresentar os números aos alunos, mas é provável que você não pare por ai. A cada dia surgem possibilidades de levá-los a raciocínios envolvendo operações de adição e subtração, produção e interpretação de registros numéricos, comparação e ordenação de quantidades, confecção de figuras geométricas e produção de seqüências em ordem crescente e decrescente.

O ensino de matéria no Brasil, após ter sido basicamente formal, foi estimulado pela idéia da introdução de materiais concretos na sala de aula. A utilização de materiais concretos é proposta a partir da noção de que as crianças passam por um período em que raciocinam mais facilmente sobre problemas concretos do que sobre problemas abstratos. Essa tendência refletiu modificações no ensino da matemática, sendo difícil avaliar até que ponto os materiais concretos realmente invadiram as nossas salas de aula e até que ponto as recomendações de uso de material concreto ficaram no papel.

Através da pesquisa de campo, têm-se a oportunidade de observar que a geometria deve ser apresentada de maneira gradual e compatibilizada com a série a que se destina. É na interação dos números com as formas que surgem vários conceitos importantíssimos e que encaminham o aluno para enxergar e compreender o assunto estudado.

Percebe-se que a falta de visão que o aluno apresenta em determinadas séries, por exemplo, na oitava série, é decorrente das lacunas deixadas no ensino simultâneo dos números e no manuseio das formas

O trabalho que aqui se apresenta foi desenvolvido com alunos de fase IV, com base na própria atividade manual dos alunos e nas percepções (visual, auditiva, tátil e sinestésica), tornando-se prazeroso, pois eles foram construindo o conhecimento pouco a pouco. Acreditamos que, nas séries iniciais, a geometria deve ser trabalhada de forma mais intuitiva, sem muita formalidade, para não assustar. O professor perceberá o momento em que deverá passar para um nível mais formal, após pensar de maneira lógica ele será capaz de mostrar abstração com mais facilidade, pois já construiu o seu conhecimento de forma prática.

Por acreditar que a geometria é de extrema importância no desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático e que este trabalho mostra experiências desenvolvidas com alunos da fase IV com os seguintes objetivos: resgatar o ensino da geometria, analisar, classificar e construir figuras geométricas, bidimensionais e tridimensionais, reconhecer o tangran como objeto de estudo da geometria, etc.

Para realizar e analisar a pesquisa foram entregues dois projetos sobre geometria, um para a escola privada, outro para a escola pública; passo a passo para serem observados.

Nas escolas pesquisadas foram feitas observações em relação ao ensino da geometria, desta forma: na escola privada estava se desenvolvendo um projeto chamado “geometria fácil”, feito pelas professoras (M. L), (T. M. A) e (A. P. T) das frases IV. Um projeto desenvolvido em oficinas. E, na escola pública estava trabalhando a parte de geometria do livro didático “Viver e aprender matemática”.

1º dia:

As professoras chamaram atenção para as formas ao alcance dos olhos num ambiente familiar: a própria escola. Saíram da sala de aula, em direção ao pátio com caderno, lápis e borracha. Os alunos anotaram e desenharam tudo que lembrasse formas geométricas de acordo com sua visão e observação.

Ao perguntar o aluno (P. L.) da escola privada e ao aluno ( R.S) da escola pública, sobre a atividade, elem concordam que: “É muito bom sair da sala de aula e realizar uma atividade assim”.

2º dia:

Cada professora, da escola privada, levou seus alunos num horário ao laboratório de matemática, onde, com argila, canudos de refrigerante, tesoura e régua, os alunos começaram construindo as formas visualizadas. Fizeram diversas bolinhas de argilas, cortaram os canudos em tamanhos previamente estipulados. Depois fizeram figuras planas como quadrado, retângulo, triângulo até se interessarem pelos nomes e criarem novas formas. Alguns deram conta de perceber que os objetos não estavam representando exatamente o que viam e começaram a colocar os canudos em outra direção, para o objeto representado ter largura. Perceberam a bi e tridimensionalidade. De

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